Équations polynomiales du second degré - Corrigé

Énoncé

Résoudre dans `\mathbb{C}`  les équations suivantes d'inconnue  `z` suivantes.

  1. \(z^2+2z+3=0\)

  2.  \(-2z^2+6z-5=0\)

  3. \((z^2+3)(z^2-4z+4)=0\)

Solution

1. \(z^2+2z+3=0\)
On calcule le discriminant \(\Delta\)  du trinôme \(z^2+2z+3\) .
\(\Delta =2^2-4 \times 1 \times 3 =4-12 =-8\)
Comme `\Delta<0` , l'équation  \(z^2+2z+3=0\) possède deux solutions complexes conjuguées :
\(z_1=\dfrac{-2-i\sqrt{8}}{2 \times 1} =\dfrac{-2-i \times 2\sqrt{2}}{2} =-1-\sqrt{2}i\)  
et  \(z_2=\overline{z_1} =-1+\sqrt{2}i\)
donc \(S=\left\{ -1-\sqrt{2}i \ ; -1+\sqrt{2}i \right\}\) .

2.  \(-2z^2+6z-5=0\)
On calcule le discriminant \(\Delta\)  du trinôme \(-2z^2+6z-5=0\) .  `\Delta =6^2-4 \times (-2) \times (-5) =36-40 =-4` .
Comme \(\Delta<0\) , l'équation possède deux solutions complexes conjuguées :
\(z_1=\dfrac{-6-i\sqrt{4}}{2 \times (-2)} =\dfrac{-6-2i}{-4} =\dfrac{3+i}{2}\)  et  \(z_2=\overline{z_1} =\dfrac{3-i}{2}\) .
Donc \(S=\left\{ \dfrac{3+i}{2} \ ; \dfrac{3-i}{2} \right\}\) .

3. \((z^2+3)(z^2-4z+4)=0\) ``  
On a, pour tout `z \in \mathbb{C}` ,
\(\begin{align*} (z^2+3)(z^2-4z+4)=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z^2+3=0 \ \ \text{ ou } \ \ z^2-4z+4=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z^2=-3 \ \ \text{ ou } \ \ (z-2)^2=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=-i\sqrt{3} \ \ \text{ ou } \ \ z=i\sqrt{3} \ \ \text{ ou } \ \ z-2=0 \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=-i\sqrt{3} \ \ \text{ ou } \ \ z=i\sqrt{3} \ \ \text{ ou } \ \ z=2 \end{align*}\)
et donc \(S=\left\{ -i\sqrt{3} \ ; i\sqrt{3} \ ; 2 \right\}\) .